Wat kunnen de wiskundige modellen echt voorspellen?


Niet alleen het aantal coronabesmettingen neemt exponentieel toe, ook de modelmatige voorspellingen doen dat. Hoe werken die wiskundige modellen, en hoe betrouwbaar zijn ze?


Lang hoeft u niet rond te surfen om corona-voorspellingen te vinden. De ene is al spectaculairder dan de andere. Bijvoorbeeld. Op 23 mei piekt het aantal besmettingen wereldwijd, met 425 miljoen gevallen in één dag. Over vier dagen zijn er in ons land niet meer genoeg bedden op de afdeling intensieve zorg om alle Belgische covid-19-patiënten op te vangen. Of u maakt de voorspellingen met eenvoudige online tools in een handomdraai zelf. Zoals Frenk van Harreveld, professor sociale psychologie (UvA), in NRC Handelsblad zei: ‘Mensen voelen zich kwetsbaar en gaan dan maar uitrekenen hoe het zit met die curves. Dan hebben ze in ieder geval een gevoel van controle over de toekomst.’


Yes, sir

De meeste modellen zijn gebaseerd op een model van bijna honderd jaar oud, bedacht door twee Schotten. Een van hen, een chemicus, legde zich toe op epidemiologie na een ontploffing in een laboratorium waarbij hij blind werd. Hij deed, volgens zijn latere medewerkers, ‘al de wiskundige berekeningen in zijn hoofd’.

Het zogenaamde SIR-model (zie tabel onderaan) deelt de bevolking in groepen in. Er zijn mensen die vatbaar zijn voor de ziekte (de S van susceptible), mensen die besmettelijk zijn (de I van infectious) en mensen die genezen of gestorven zijn (de R van recovered). Het aantal mensen in elke groep wijzigt in de tijd. Bij een epidemie met een nieuwe ziekte, zoals sars-CoV-2, is iedereen vatbaar. Aan de start van een uitbraak is een handvol mensen – één kan genoeg zijn – besmettelijk. Doordat een besmette patiënt andere mensen aansteekt, en zij op hun beurt andere mensen, ontstaat de epidemie.

De snelheid waarmee de epidemie oprukt, hangt af van het aantal vatbaren en besmettelijken, hoe vaak die onderling contact hebben en wat de kans is om bij een contact iemand te besmetten. Het aantal besmettelijken neemt bij een epidemie exponentieel toe, maar op een zeker moment is de piek bereikt (zie tabel onderaan). Mensen herstellen en zijn niet langer besmettelijk. Het aantal vatbaren daalt zienderogen, waardoor het virus het moeilijker krijgt om zich te verspreiden.

Op basis van de achterliggende vergelijkingen kan het reproductiegetal R0 berekend worden: hoeveel personen besmet een patiënt? Dat hangt af van de contactintensiteit tussen de vatbaren en besmettelijken, de besmettelijkheid van de ziekte en de snelheid waarmee iemand herstelt (en dus niet langer besmettelijk is). Bij sars-CoV-2 ligt dat cijfer op 2,5. Als dat cijfer boven de 1 ligt, worden steeds meer mensen besmet, en ontstaat een epidemie.

Uiteraard kan het model ingewikkelder – en realistischer – gemaakt worden, door groepen toe te voegen. Iemand kan bijvoorbeeld besmet zijn, maar nog niet besmettelijk. Hij kan besmet zijn, maar geen symptomen vertonen. Of hij kan in quarantaine geplaatst worden, waar hij niet langer andere mensen besmet. Om preciezere voorspellingen te maken, kan ook in rekening gebracht worden dat het ziekteverloop niet voor elke leeftijdscategorie hetzelfde hoeft te zijn.


Is dat betrouwbaar?

Het is niet moeilijk om een model op te zetten en heel precieze voorspellingen te bekomen. Maar is het ook betrouwbaar? Een kleine verandering van bijvoorbeeld één parameter kan tot enorme verschillen leiden. ‘Als elke patiënt er twee besmet, dan zijn er na vier dagen 16 andere geïnfecteerd. Zijn dat er drie, dan is dat 81’, zegt Jan Baetens, professor wiskundige modellering (UGent). ‘Een kleine afwijking leidt tot onzekerheid, die sterk toeneemt naarmate er langer vooruit voorspeld wordt.’

Eenvoudige modellen die telkens bijgesteld worden op basis van de beschikbare data, kunnen de initiële evolutie van uitbraak relatief goed inschatten. ‘Maar zodra er maatregelen genomen worden, wordt het moeilijker’, zegt Niel Hens, professor biostatistiek aan de UHasselt en UAntwerpen.

Dat er veel voorspellingen circuleren, al dan niet gemaakt met (te) eenvoudige modellen, stoort Hens niet. ‘Dat is relatief onschuldig, zolang er geen beleid aan gekoppeld is. Om beleid te voeren, moet er duidelijkheid zijn over de beperkingen van het model.’

De modellen zijn dus complexer dan de curve doortrekken van het aantal besmettingen, gehospitaliseerden of doden.

Hens werkt, met een team van veertien man, aan verfijndere modellen. Ondanks de onzekerheid over de resultaten, maakt hij zich sterk voorspellingen te kunnen afleveren waar het beleid op kan bouwen. Hij deelt die niet met het grote publiek, maar wel met de crisiscel die in ons land belast is met de opvolging van de corona-epidemie. Ook Jan Baetens geeft dagelijks een update van de resultaten van zijn model door. Sciensano, het Belgisch instituut voor gezondheid, heeft, in tegenstelling tot zijn Nederlandse tegenhanger RIVM, geen eigen model en gaat dus voort op wat wetenschappers aanleveren.

Zowel Hens als Baetens benadrukt dat het te vroeg is om nu al precieze voorspellingen te doen over covid-19 in ons land. Maar wat kunnen de wiskundige modellen ons nu al, en in de toekomst, leren?


1. Stevenden we af op een drama?

Doordat het model op elk moment kan voorspellen hoeveel besmette mensen er zijn, kan worden nagegaan wanneer de piek van het aantal besmettingen bereikt wordt. Hadden we het virus in ons land laten doorrazen, zonder maatregelen te nemen, dan zou de covid-19-piek in mei bereikt worden, blijkt uit de berekeningen van Hens. In het slechtst denkbare scenario zouden 600.000 mensen tegelijk besmet zijn. Ter vergelijking: tijdens een typische grieppiek zijn er 100.000 mensen tegelijkertijd besmet.

Niet al die mensen hebben medische zorg nodig – 80 procent van degenen met symptomen heeft alleen milde klachten – laat staan dat ze gehospitaliseerd hoeven te worden. ‘Zeker is dat de ziekenhuizen dit niet aangekund hadden’, zegt Hens.

Ingmar Nopens en Tijs Alleman (beiden UGent) publiceerden donderdag een veel hoger cijfer. Volgens hun berekening zouden – zonder ingrijpen – op de piek ruim 4 miljoen Belgen tegelijk besmet zijn. Dat zou resulteren in 40.000 patiënten die tegelijk intensieve zorg nodig hebben. Hens wijst erop dat dit cijfer veel te hoog ligt, doordat het model geen rekening met het feit dat contacten niet willekeurig zijn. De contacten tussen generaties zijn veel beperkter dan contacten binnen generaties. Ouderen trekken niet zo vaak op met jongeren, en vice versa. ‘Het is belangrijk om die heterogeniteit mee te nemen in verspreidingsmodellen van covid-19’, merkt Hens op.


2. Werken de maatregelen?

Die voorspelling zal gelukkig niet uitkomen, omdat de overheid ingreep. Door maatregelen te nemen, kan de snelheid waarmee ‘vatbaren’ besmet worden, drastisch verminderen.

Twee weken na de lockdown lijkt België, op basis van het aantal bevestigde gevallen, van het initiële exponentiële groeipad af. Al is het nog te vroeg om daar zeker van te zijn. ‘We zien de effecten van de maatregelen in de cijfers nog maar sinds maandag’, zegt Baetens. ‘Als de contacten terugvallen met 20 à 25 procent, zoals het er nu naar uitziet, dan blijkt uit mijn simulaties dat we van het snelle groeipad wegblijven en de druk op de ziekenhuizen binnen de perken zou kunnen blijven. Maar het is op dit moment onmogelijk te zeggen of dat zo zal zijn. Ook andere scenario’s zijn mogelijk.’

De modellen laten toe om te voorspellen hoeveel mensen op elk moment gehospitaliseerd moeten worden. Die piekbelasting in kaart brengen, is cruciaal om te kunnen inschatten of de ziekenhuizen het aankunnen en of we Italiaanse toestanden kunnen vermijden.

Hens probeert nu met man en macht de sociale contactpatronen in kaart te brengen, om in te schatten in welke mate we onze contacten teruggeschroefd hebben. Dat gebeurt op basis van bestaande modellen, zoals die voor griep uitgewerkt zijn, maar ook met bevragingen. ‘Dat laat een veel complexere modellering toe’, zegt Hens. Maar hij kan nog geen uitspraken doen over wanneer de piek plaatsvindt, en hoe hoog die zal zijn.


3. Komt er een tweede piek?

Als we de maatregelen loslaten, riskeren we de eerste piek bedwongen te hebben, maar een tweede te krijgen. Zolang er nog veel mensen ‘vatbaar’ zijn, kan één besmette persoon opnieuw de lont in het kruitvat steken. ‘Dan zijn we weer vertrokken, met dezelfde curve als begin maart’, zegt Baetens.

Precies daarom is het onwaarschijnlijk dat we snel terug kunnen naar het normale leven. ‘We moeten ervan uitgaan dat er gevallen zullen blijven opduiken, zoals bij griep’, zegt Hens. ‘Het is interessant om op te volgen wat in China gebeurt, als het openbare leven zachtjesaan opnieuw aantrekt.’ Als daar een tweede piek komt, moeten we extra waakzaam zijn.

Als we over de eerste piek heen zijn, is de vraag welke maatregelen het eerst versoepeld kunnen worden. Daarvoor zijn de modellen opnieuw cruciaal, want daarzonder moeten beleidsmakers afgaan op hun buikgevoel of op wat andere landen doen. ‘De contactmodellen moeten ons in staat stellen om te zeggen wat er zou gebeuren als we de scholen opnieuw openen, of als we werken op de werkvloer weer meer toelaten. Dat kan op basis van contactpatronen uit het verleden – die zijn vrij stabiel. We starten ook een studie in het VK, Nederland en België om de bewegingen nog beter in kaart te brengen.’


4. Is een vaccin de ultieme oplossing?

Ons leven wordt pas weer het oude als er een vaccin is, opperen verscheidene wetenschappers. ‘In het model gaan mensen dan meteen van “vatbaar” naar “genezen”’, zegt Baetens. Wie gevaccineerd is, kan niet meer ziek worden. Het virus verspreidt zich ook minder snel, omdat het aantal contacten die tot een besmetting leiden, daalt. Dat is ook precies het idee achter groepsimmuniteit: als voldoende mensen het virus gehad hebben, wordt het aantal nieuwe besmettingen te laag om de epidemie gaande te houden. Er bestaat een eenvoudige formule om te berekenen wanneer dat gebeurt. Bij een R0 van 2,5, is dat bij 1-1/2,5, of 60 procent. ‘Dat is iets te eenvoudig’, stelt Hens. ‘Maar de vork is 60 à 70 procent.’

Als 60 à 70 procent immuun is – door de ziekte door te maken of door een vaccin – dooft het virus uit. Het is dus niet per se nodig om alle mensen te vaccineren.

Maar ook vaccineren is minder eenvoudig dan het lijkt. Als een vaccin wordt gevonden, is het niet zeker dat het voor iedereen werkt. En als er één is, willen alle landen het tegelijkertijd. Als een van de bevoegde ministers, al dan niet via goede connecties, een lading naar ons land krijgt, is de vraag wie we eerst zullen vaccineren. Ook daar biedt het model van Hens en co. soelaas. ‘Een vaccin kan je integreren in het model’, zegt hij. ‘Dan kan je bijvoorbeeld onderzoeken of je eerst de gezondheidswerkers moet vaccineren. En vervolgens: de meest sociale mensen? Of de risicogroepen?’

Eén zaak is zeker: zolang er geen vaccin is, zit er ook voor de biostatistici en wiskundige modelleerders nog geen terugkeer naar het normale leven in.


DS, 28-03-2020, pp.22-23 (Dries De Smet)

Bijgesloten Plaatje(s)