Zó dom was de rekenfout van de vlaaienbakkers nu ook weer niet


Een magere troost voor de Limburgse vlaaienbakkers die zich misrekenden: ook beroemde wiskundigen, koning Filip én De Standaard trapten al in de val van de ‘lineariteitsillusie’. “Onze intuïtie laat ons in de steek.”


Na het advies om je kerstboom niet op te eten hoefde de internationale pers niet lang te zoeken naar een nieuwe Belgenmop. In Limburg boden ze er een op een dienblaadje aan: Limburgse vlaaienbakkers hebben een domme rekenfout gemaakt bij het berekenen van het gewicht van hun culinaire specialiteit waardoor ze hun eeuwenoude vlaaien niet langer ‘Limburgse vlaaien’ mogen noemen.

En toch moeten we meteen tegengas geven: de rekenfout van de vlaaienbakkers is helemaal zo gek niet. Ze had nagenoeg iedereen kunnen overkomen.

De Limburgse vlaaienbakkers moesten volgend vraagstuk oplossen. Een vlaai met een diameter van 30 centimeter weegt 1,2 kilogram. Hoeveel weegt dan een vlaai van 24 centimeter (die even hoog is)? Simpel, zo redeneerden ze: de doorsnede van de kleinere vlaai is één vijfde kleiner, dus doen we ook één vijfde van het gewicht af. De regel van 3 dus.

Eenvoudig en intuïtief, maar helaas klopt het niet. Het gewicht van een kleinere vlaai schaalt niet lineair mee met de diameter, maar wel met het volume van de taart. Een taart is wiskundig gezien een cilinder, en dus is de formule pi maal de straal in het kwadraat maal de hoogte. De diameter (dat is het dubbele van de straal) staat dus kwadratisch in de formule. En dus weegt een vlaai van 24 centimeter niet één vijfde minder, maar ruim één derde minder dan een vlaai van 30 centimeter. Geen wonder dat de Fod Economie vaststelde dat de vlaaien in de praktijk te licht uitvielen, waardoor de vlaaienbakkers hun Limburgse vlaaien geen échte Limburgse vlaaien mogen noemen.

Een pijnlijke, maar een veelgemaakte fout, zo weet professor onderwijspsychologie Wim Van Dooren (KU Leuven) die gespecialiseerd is in wiskundedidactiek. Zo vaak zelfs, dat hij en zijn collega’s er een naam voor verzonnen: de lineariteitsillusie. “Het is een sterk ingebakken overtuiging dat wiskundige relaties sowieso lineair zijn. Helaas laat onze intuïtie ons hier in de steek. Zo komen er heel wat fouten tot stand.”


Knipperlichten

Het volume van een cilinder moeten leerlingen van het tweede jaar op de middelbare school al kennen. Maar toch trappen ook de hogerejaars schrikwekkend vaak in de val van lineariteitsillusie. “Stel dat een kabouter tien keer kleiner is dan een mens. Hoeveel minder weegt hij dan?”, werpt Van Dooren voor. We laten u even rekenen, maar – dat heeft u inmiddels door – het juiste antwoord is niét: tien keer minder.

“Als we dergelijke problemen voorleggen aan vierde-, vijfde- of zesdejaars, dan stellen we geschokt vast dat voor sommige problemen 70, 80 of 90 procent de mist ingaat. En dat is zeker niet alleen een Vlaams probleem: ook internationaal werd dit onderzoek al vaak gerepliceerd.”

Met hun rekenfout bevinden leerlingen en vlaaienbakkers zich in goed gezelschap: ook beroemde wiskundigen, koning Filip én De Standaard lieten zich in het verleden vangen aan de lineariteitsillusie. Koning – toen nog prins – Filip rekende ooit uit dat je met een economische groei van 14 procent na 7 jaar aan 100 procent zou zitten (maar vergat het principe van de samengestelde interest). Toen De Standaard van formaat veranderde, halveerde de oppervlakte van een pagina. In een advertentie liet de krant uitschijnen dat de hoogte gehalveerd was. “Wat niet klopte: bij gelijke verhoudingen bedraagt de nieuwe hoogte één over vierkantswortel twee van de oude”, rekent Van Dooren voor.

De fout maken blijkt makkelijk, maar ze vermijden is aartsmoeilijk. “Wanneer we onderzoek deden naar instructies om de fout op een toets te vermijden, bleken die niet te werken. We vroegen, bijvoorbeeld, om een precieze tekening te maken, maar dan deden de leerlingen het zelfs nog slechter”, zegt Van Dooren. “Dan redeneren leerlingen intuïtief: als mij gevraagd wordt om een cirkel te tekenen met een diameter die vijf keer groter is, dan zal de oppervlakte ook wel vijf keer groter zijn.”

Sommige wiskundeleraars stellen dat je je intuïtie moet uitschakelen. “Maar dat is ook niet wenselijk”, zegt Van Dooren. “In veel situaties is het goed om op je intuïtie te vertrouwen. We willen zelfs dat leerlingen bepaalde inzichten intuïtief gaan hanteren. Maar het is wel goed om te leren dat in bepaalde omstandigheden knipperlichten moeten aangaan: ‘let op, dit is een domein waar we ons vaak laten vangen.’”


Het gewicht van kabouters

Zoals het gewicht van kabouters dus, dat u ondertussen vast al uitgerekend heeft. Een kabouter die tien keer kleiner is dan een mens, weegt duizend keer minder. Niet alleen zijn grootte, maar ook zijn breedte en diepte schalen mee: dat zijn dus drie dimensies, en dus een factor tien tot de derde, of duizend.

Als u dacht dat het antwoord honderd was: we geven er een half punt voor. Je kan het gewicht van een kabouter niet alleen schalen volgens volume, maar ook volgens BMI. Stel dat een reus van 2 meter 100 kilogram weegt, dan heeft hij een BMI van 25. Een kabouter van 20 centimeter en een BMI van 25 weegt één kilogram (of dus één honderdste van de reus). In de formule van BMI staat de lengte immers kwadratisch: gewicht in kilogram over lengte in meter kwadraat.

Is dat geen fout, gezien een langere mens ook in drie dimensies groter zal zijn? Voor baby’s wordt inderdaad soms de Ponderal-index gebruikt, die gewicht wél door de lengte tot de dérde macht deelt. Grote mensen kunnen zich eraan optrekken: door lengte slechts te kwadrateren, benadeelt BMI grote mensen en bestempelt ze te snél als zwaarlijvig, terwijl de index te vergevingsgezind is voor kleine mensen met licht overgewicht.

Maar net zoals een tijger géén grote kat is, is een grote mens niet simpelweg de opgeschaalde versie van een kleine mens. Een Amerikaanse studie toont dat de opschaling van gewicht volgens lengte bij referentiemensen met een laag vetpercentage verrassend dicht bij de tweede macht ligt die BMI hanteert.

In ieder geval heeft u na deze stevige hap zeker een stuk Limburgse vlaai verdiend. Als u wil vermijden dat u straks op de weegschaal moet staan, onthoud dan dat een volledig taartje uw BMI minder zal opdrijven dan de helft van een taart met een dubbel zo grote doorsnede.

Correctie op 17 januari 2025. Een Amerikaanse studie toont dat de opschaling van gewicht volgens lengte bij referentiemensen met een laag vetpercentage verrassend dicht bij de tweede macht ligt die BMI hanteert, niet bij factor 2.


DS, 16-01-2025 (Dries De Smet)