actualiteitsforums - Enkele post bekijken - 'Vermoeden van Poincaré' eindelijk bewezen

Vermoeden Poincaré is bedwongen

Een van de grootste openstaande vraagstukken uit de wiskunde is eindelijk opgelost

DE eregalerij van grote wiskundigen telt nogal wat excentrieke genieën. De aan schizofrenie lijdende John Nash bijvoorbeeld, over wie de film A Beautiful Mind gemaakt werd, of de Fransman Évariste Galois, die al zijn briljante ideeën in één nacht in paniek neerkribbelde omdat hij verwachtte 's ochtends gedood te worden in een duel met een liefdesrivaal - wat ook gebeurde. Aan dat rijtje is sinds deze week de schuwe Russische wiskundige Grisha Perelman toegevoegd. Die heeft het 'vermoeden van Poincaré' bewezen, een van de grootste openstaande vraagstukken in de wiskunde. Maar hij weigerde de prestigieuze Fields-medaille die hem voor die prestatie dinsdag werd toegekend, zowat de 'Nobelprijs voor wiskunde' (DS 23 augustus) . En algemeen wordt verwacht dat hij binnenkort ook een andere prijs, die een miljoen dollar waard is, zal weigeren.

Dat Perelman - tegen zijn zin - met prijzen wordt overladen, is omdat wiskundigen het vermoeden van Poincaré, en de theorie die errond en erop gebouwd is, bijzonder belangrijk vinden. Het Amerikaanse Clay Institute nam het op in zijn lijst van zeven 'millenniumvraagstukken' waarop de wiskunde het dringendst een antwoord zou moeten vinden. Voor de oplossing van elk ervan werd een miljoen dollar uitgeloofd. Het vermoeden van Poincaré is het eerste van de zeven dat sneuvelt - al is nog niet duidelijk wat er met het prijzengeld moet gebeuren als Perelman het niet wil.

Het vermoeden is genoemd naar de Franse wiskundige Henri Poincaré, die het in 1904 formuleerde - al zou het nu wel eens herdoopt kunnen worden tot de 'stelling van Perelman'. Poincaré dacht na over het vervormen van voorwerpen en wiskundige figuren. Stel dat je een bol geleidelijk vervormt (stel je voor dat hij van heel zacht rubber gemaakt is) dan kun je er gemakkelijk een ei van maken, of een sigaar of een pannenkoek. Maar geen ring. Daar zit een gat in, en om dat te kunnen maken zou je moeten knippen of plakken in het rubber. Maar elke vorm waar géén gat in zit kan geleidelijk vervormd worden tot een bol; of in de wiskundige formulering: van elk gesloten oppervlak kan een boloppervlak gemaakt worden. Poincaré vermoedde dat hetzelfde ook gold voor oppervlakken met meer dimensies dan de tweedimensionale oppervlakken (zoals een boloppervlak) waarmee we vertrouwd zijn. Voor driedimensionale of vierdimensionale oppervlakken bijvoorbeeld (iets wat we ons niet kunnen voorstellen, maar wat wiskundig perfect te definiëren valt). Dat is het vermoeden, enigszins losjes geformuleerd. Voor wie op een exactere formulering staat, wordt het (voor drie dimensies) in wiskundig jargon: ,,Elke enkelvoudig geconnecteerde gesloten 3-variëteit is homeomorf met de 3-sfeer'', en voor wie het extra losjes wil, werd het gisteren hier en daar samengevat als ,,Een bol is hetzelfde als een banaan.''

Voor hogere dimensies (vier- of vijf- of hogerdimensionale oppervlakken) was het vermoeden al bewezen, maar het driedimensionale geval bleef hardnekkig weerstand bieden. Niet dat er niet geprobeerd werd; nog in 2002 publiceerde de Britse wiskundige Martin Dunwoody een 'bewijs', dat nadien verkeerd bleek (DS 13 mei 2002). Niet lang daarna kwam Perelman (DS 9 mei 2003). De Rus bewees in feite zelfs nog iets meer: een algemener vermoeden dat bekend staat als de 'geometriseringsconjectuur van Thurston', waar het vermoeden van Poincaré als een speciaal geval uit volgt. Perelman maakte gebruik van een techniek die ontwikkeld was door de Amerikaanse wiskundige Richard Hamilton, de 'Ricci-stroming', die erop neerkomt dat een ingewikkelde vorm wiskundig wordt 'gladgestreken', om er uiteindelijk een bol van te maken.

Wiskundigen wisten aanvankelijk niet goed wat ze aan moesten met Perelmans uiterst technische en niet in detail uitgewerkte notities. Maar specialisten zagen al snel dat Perelmans ideeën uiterst veelbelovend waren. Ze hebben er jaren over gedaan om Perelmans bewijs helemaal in detail uit werken, en na te rekenen of de redenering correct was. Naarmate dat werk vorderde, verkleinde de twijfel, en ging het er steeds meer op lijken dat Perelman het bij het rechte eind had. Helemaal zeker is het nog steeds niet, maar de delen van Perelmans werk die al zijn nagerekend, worden door zijn collega's alvast voldoende interessant gevonden om hem de Fields-medaille ervoor toe te kennen. Er wordt nauwelijks nog aan getwijfeld dat het bewijs correct is.

Perelman zelf is er al lang van overtuigd dat zijn werk klopt, en voor hem volstaat dat. Aan eerbewijzen en erkenning heeft hij geen behoefte, en blijkbaar ook niet aan geldprijzen. John Ball, de voorzitter van de Internationale Wiskundige Unie, die gisteren op de ceremonie van de Fields-medailles in Madrid moest aankondigen dat Perelman zijn medaille weigerde, heeft intussen iets meer details gegeven.

Ball heeft Perelman in Sint-Petersburg opgezocht, waar die in een flat bij zijn moeder woont. Ball heeft twee dagen op de schuwe wiskundige ingepraat, maar hij heeft hem niet kunnen overtuigen om de prijs aan te nemen. Ball zei dat hij bij Perelman twee aangename dagen heeft doorgebracht, dat er niet moet getwijfeld worden aan de geestelijke gezondheid van de Rus en dat hij trots is op zijn bijdrage aan de wetenschap. Volgens Ball hebben Perelmans karakter en enkele persoonlijke ervaringen (waar hij niet concreet wilde op ingaan) hem ertoe gebracht zich te isoleren van de wiskundige gemeenschap.

DS, 24-08-2006 (sts)