wim leenaerts
18th September 2010, 10:06
Totaal niet relevant voor het forum ofzo, maar ik wou het toch echt even kwijt: Ik kwam net op wikipedia een stuk tekst tegen waar ik nog minder van begreep dan van Barsts cursus op zijn moeilijkste momenten en dat moest ik toch wel even delen :D
In de functionaalanalyse, een deelgebied van de wiskunde, veralgemeent een Hilbertruimte, vernoemd naar de Duitse wiskundige David Hilbert, de notie van de Euclidische ruimte. Het breidt de methoden van de vectoralgebra en de analyse van het twee-dimensionale Euclidische vlak en de drie-dimensionale ruimte uit naar ruimten met een eindig- of oneindig aantal dimensies. Een Hilbertruimte is een abstracte vectorruimte, die voorzien is van de extra structuur van een inwendig product. Hierdoor zij de notie van lengte en hoek in een Hilbertruimte gedefinieerd en kunnen lengten en hoeken in een Hilbertruimte altijd gemeten worden. In aanvulling hierop vereist men verder dat Hilbertruimten met betrekking tot de daardoor gedefinieerde norm volledig zijn. Volledig zijn houdt in dat een Hilbertruimte een voldoende aantal limieten kent, zodanig dat de technieken van de analyse kunnen worden gebruikt in een Hilbertruimte.
Hilbertruimten blijken van nature vaak voor te komen in de wiskunde, natuurkunde en de techniek, meestal als oneindig-dimensionale functieruimten. Vanuit dit gezichtspunt werden de vroegste Hilbertruimten in het eerste decennium van de 20e eeuw ook bestudeerd door David Hilbert, Erhard Schmidt en Frigyes Riesz. Hilbertruimten zijn onmisbare hulpmiddelen in de theorieën van partiële differentiaalvergelijkingen, de kwantummechanica, de Fourier-analyse (met inbegrip van toepassingen in de signaalverwerking) en de ergodische theorie, die de wiskundige onderbouwing vormt voor de studie van de thermodynamica. John von Neumann bedacht de term "Hilbertruimte" voor het abstracte begrip dat 'ten grondslag ligt aan veel van deze uiteenlopende toepassingen'. Het succes van de methoden van de Hilbertruimte luidde het begin in van een zeer vruchtbare periode voor de functionaalanalyse. Afgezien van de klassieke Euclidische ruimten zijn voorbeelden van Hilbertruimten ruimtes van kwadratisch-integreerbare functies, rijruimten, Sobolev-ruimten, bestaande uit veralgemeende functies en Hardy-ruimten van holomorfe functies.
Meetkundige intuïtie speelt een belangrijke rol in veel aspecten van de Hilbertruimtetheorie. Analogonen van de stelling van Pythagoras en de parallellogramwet zijn van toepassing in een Hilbertruimte. Op een dieper niveau spelen loodrechte projectie op ("onto") een deelruimte (het analogon van "de hoogte laten vallen" van een driehoek) een belangrijke rol in optimalisatieproblemen en andere aspecten van de theorie. Een element van een Hilbertruimte kan uniek worden bepaald door zijn coördinaten met betrekking tot een verzameling van coördinaatassen (een orthonormale basis), in analogie met Cartesiaanse coördinaten in het vlak. Wanneer deze verzameling van coördinatenassen aftelbaar oneindig is, betekent dit dat men Hilbertruimte ook nuttig kan beschouwen in termen van oneindige rijen, die kwadratisch optelbaar zijn. Lineaire operatoren op een Hilbertruimte zijn eveneens vrij concrete objecten: in goede gevallen zijn het transformaties die de ruimte met verschillende factoren in wederzijds loodrechte richtingen oprekken of inkrimpen in een zin die nauwkeurig wordt gemaakt door de studie van hun spectraaltheorie.
Een Hilbertruimte is een Banachruimte, maar niet alle Banachruimten zijn Hilbertruimten. Als een Banachruimte een Hilbertruimte is, kan men het inproduct van de Hilbertruimte op eenduidige wijze reconstrueren uit de normfunctie.
In de functionaalanalyse, een deelgebied van de wiskunde, veralgemeent een Hilbertruimte, vernoemd naar de Duitse wiskundige David Hilbert, de notie van de Euclidische ruimte. Het breidt de methoden van de vectoralgebra en de analyse van het twee-dimensionale Euclidische vlak en de drie-dimensionale ruimte uit naar ruimten met een eindig- of oneindig aantal dimensies. Een Hilbertruimte is een abstracte vectorruimte, die voorzien is van de extra structuur van een inwendig product. Hierdoor zij de notie van lengte en hoek in een Hilbertruimte gedefinieerd en kunnen lengten en hoeken in een Hilbertruimte altijd gemeten worden. In aanvulling hierop vereist men verder dat Hilbertruimten met betrekking tot de daardoor gedefinieerde norm volledig zijn. Volledig zijn houdt in dat een Hilbertruimte een voldoende aantal limieten kent, zodanig dat de technieken van de analyse kunnen worden gebruikt in een Hilbertruimte.
Hilbertruimten blijken van nature vaak voor te komen in de wiskunde, natuurkunde en de techniek, meestal als oneindig-dimensionale functieruimten. Vanuit dit gezichtspunt werden de vroegste Hilbertruimten in het eerste decennium van de 20e eeuw ook bestudeerd door David Hilbert, Erhard Schmidt en Frigyes Riesz. Hilbertruimten zijn onmisbare hulpmiddelen in de theorieën van partiële differentiaalvergelijkingen, de kwantummechanica, de Fourier-analyse (met inbegrip van toepassingen in de signaalverwerking) en de ergodische theorie, die de wiskundige onderbouwing vormt voor de studie van de thermodynamica. John von Neumann bedacht de term "Hilbertruimte" voor het abstracte begrip dat 'ten grondslag ligt aan veel van deze uiteenlopende toepassingen'. Het succes van de methoden van de Hilbertruimte luidde het begin in van een zeer vruchtbare periode voor de functionaalanalyse. Afgezien van de klassieke Euclidische ruimten zijn voorbeelden van Hilbertruimten ruimtes van kwadratisch-integreerbare functies, rijruimten, Sobolev-ruimten, bestaande uit veralgemeende functies en Hardy-ruimten van holomorfe functies.
Meetkundige intuïtie speelt een belangrijke rol in veel aspecten van de Hilbertruimtetheorie. Analogonen van de stelling van Pythagoras en de parallellogramwet zijn van toepassing in een Hilbertruimte. Op een dieper niveau spelen loodrechte projectie op ("onto") een deelruimte (het analogon van "de hoogte laten vallen" van een driehoek) een belangrijke rol in optimalisatieproblemen en andere aspecten van de theorie. Een element van een Hilbertruimte kan uniek worden bepaald door zijn coördinaten met betrekking tot een verzameling van coördinaatassen (een orthonormale basis), in analogie met Cartesiaanse coördinaten in het vlak. Wanneer deze verzameling van coördinatenassen aftelbaar oneindig is, betekent dit dat men Hilbertruimte ook nuttig kan beschouwen in termen van oneindige rijen, die kwadratisch optelbaar zijn. Lineaire operatoren op een Hilbertruimte zijn eveneens vrij concrete objecten: in goede gevallen zijn het transformaties die de ruimte met verschillende factoren in wederzijds loodrechte richtingen oprekken of inkrimpen in een zin die nauwkeurig wordt gemaakt door de studie van hun spectraaltheorie.
Een Hilbertruimte is een Banachruimte, maar niet alle Banachruimten zijn Hilbertruimten. Als een Banachruimte een Hilbertruimte is, kan men het inproduct van de Hilbertruimte op eenduidige wijze reconstrueren uit de normfunctie.